小町表出問題

        **********
         *********
       *00********
       *11*******
      **22******
    ****33*****
    ****44****
   *****55***
  ******66**
 *******77*
********88        
********99********

作者: 相良武雄氏
初出: 虫食算研究室 123

自明なところを埋める。

        abcdefghij
         klmnopqrs
       *00********
       *11*******
      **22******
    ****33*****
    ****44****
   *****55***
  ******66**
 *******77*
********88        
********99********

k≠l などから a<5。この範囲で abcdefghij×s=*00******** となる範囲を探す。

3333333334–3366666666×3=10000000002–10099999998
2500000000–2524999999×4=10000000000–10099999996
2000000000–2019999999×5=10000000000–10099999995
4000000000–4019999999×5=20000000000–20099999995
1666666667–1683333333×6=10000000002–10099999998
3333333334–3349999999×6=20000000004–20099999994
1428571429–1442857142×7=10000000003–10099999994
2857142858–2871428571×7=20000000004–20099999994
4285714286–4299999999×7=30000000004–30099999993
1250000000–1262499999×8=10000000000–10099999992
2500000000–2512499999×8=20000000000–20099999992
3750000000–3762499999×8=30000000000–30099999992
1111111112–1122222222×9=10000000008–10099999998
2222222223–2233333333×9=20000000007–20099999997
3333333334–3344444444×9=30000000006–30099999996
4444444445–4455555555×9=40000000005–40099999995

これらを 1–s-1 倍し、abcdefghij×r=*11******* を満たすものを探す。

abcdefghij	×1	×2	×3	×4	×5	×6	×7	×8
3333333334–3366666666	3333333334–3366666666	6666666668–6733333332
2500000000–2524999999	2500000000–2524999999	5000000000–5049999998	7500000000–7574999997
2000000000–2019999999	2000000000–2019999999	4000000000–4039999998	6000000000–6059999997	8000000000–8079999996
4000000000–4019999999	4000000000–4019999999	8000000000–8039999998
1666666667–1683333333	1666666667–1683333333	3333333334–3366666666	5000000001–5049999999	6666666668–6633333332	8333333335–8416666660
3333333334–3349999999	3333333334–3349999999	6666666668–6699999998
1428571429–1442857142	1428571429–1442857142	2857142858–2885714284	4285714287–4328571426	5714285716–5771428568	7142857145–7214285710	8571428574–8657142852
2857142858–2871428571	2857142858–2871428571	5714285716–5742857142	8571428574–8614285713
4285714286–4299999999	4285714286–4299999999	8571428572–8599999998
1250000000–1262499999	1250000000–1262499999	2500000000–2524999998	3750000000–3787499997	5000000000–5049999996	6250000000–6312499995	7500000000–7574999994	8750000000–8837499993
2500000000–2512499999	2500000000–2512499999	5000000000–5024999998	7500000000–7537499997
3750000000–3762499999	3750000000–3762499999	7500000000–7524999998
1111111112–1122222222	1111111112–1122222222	2222222224–2244444444	3333333336–3366666666	4444444448–4488888888	5555555560–5611111110	6666666672–6733333332	7777777784–7855555554	8888888896–8977777776
2222222223–2233333333	2222222223–2233333333	4444444446–4466666666	6666666669–6699999999	8888888892–8933333332
3333333334–3344444444	3333333334–3344444444	6666666668–6688888888
4444444445–4455555555	4444444445–4455555555	8888888890–8911111110

s=9,r=1,p=9,abc=111 が確定する。

1111111112–1119999999 を 2–8倍し、**22****** に当てはまるものを探す。

1111111112–1119999999×2=2222222224–2239999998
1111111112–1119999999×3=3333333336–3359999997
1111111112–1119999999×4=4444444448–4479999996
1111111112–1119999999×5=5555555560–5599999995
1111111112–1119999999×6=6666666672–6719999994
1111111112–1119999999×7=7777777784–7839999993
1111111112–1119999999×8=8888888896–8959999992

以下の3通りに絞られる。

1111111112–1111499999×2=2222222224–2222999998
1117428572–1117571428×7=7822000004–7822999996
1115250000–1115374999×8=8922000000–8922999992

これらを 9倍し、****33***** に当てはまる範囲を求める。

1111111112–1111499999×9=10000000008–10003499991
1117428572–1117571428×9=10056857148–10058142852
1115250000–1115374999×9=10037250000–10038374991

1111477778–1111488888×9=10003300002–10003399992 のみが残り、de=14,q=2 も確定する。

これを 1–8倍して、****44**** に当てはまるものを探す。

1111477778–1111488888×1=1111477778–1111488888
1111477778–1111488888×2=2222955556–2222977776
1111477778–1111488888×3=3334433334–3334466664
1111477778–1111488888×4=4445911112–4445955552
1111477778–1111488888×5=5557388890–5557444440
1111477778–1111488888×6=6668866668–6668933328
1111477778–1111488888×7=7780344446–7780422216
1111477778–1111488888×8=8891822224–8891911104

以下の2通りが残る。

1111480000–1111483333×3=3334440000–3334449999
1111488000–1111488888×5=5557440000–5557444440

上の範囲内で 8ghij×n=*55*** に当てはまる n を探す。

81875–81999×8=655000–655992
88750–88888×4=355000–355552

ghij×m=*66** に当てはまるものを探すと、8867–8888×3=26601–26664 のみが残る。gh=88,mn=34。

8ij×l=*77* を満たす l を探すと、885–888×2=1770–1776 のみが残る。

これに対し 8j×k=*88 となるものは以下の2通りである。

88×1=088
86×8=688

この2通りに対して積を求める。

1111488888×123459219=137223550039658472
1111488886×823459219=915265769992740034

積の99が一致する後者が解である。

解答
1111488886 823459219 10003399974 1111488886 2222977772 10003399974 5557444430 4445955544 3334466658 2222977772 8891911088 915265769992740034

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